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5静电场中的电介质

作者:365竞猜 发布时间:2020-11-13 13:30 点击数:

  7.4 静电场中的电介质 一般来说,在电场中能与电场发生相互作用的物质, 一般来说,在电场中能与电场发生相互作用的物质, 除导体外,我们统称为电介质。 除导体外,我们统称为电介质。电介质是以极化方 式而不是以传导方式传递电的作用的。 式而不是以传导方式传递电的作用的。理想的电介 质是绝缘体。内部没有可以自由移动的电荷, 质是绝缘体。内部没有可以自由移动的电荷 因而不能导电。我们主要研究各向同性的电介质。 因而不能导电。我们主要研究各向同性的电介质。 一、 电介质对电场的影响 电介质对电场的影响 +Q E0 -Q +Q E0 _Q 结论: 结论:场充满了 电介质后场强减 弱了, 弱了,原因是电 介质极化附加一 反向电场。 反向电场。 E′ E 真空中 电介质中 E =V V0 V V<V0 < d E<E0 < 二、 电介质的极化 (一)、电介质极化的微观机制 )、电介质极化的微观机制 电介质是由大量中性分子组成 有极分子 无极分子 无外场时: 无外场时: 有极分子 无极分子 + 固有电矩不为零 + +- 固有电矩 固有电矩=0 p = ql 无电场时 热运动---紊乱 热运动---紊乱 --- 电中性 有电场时 有极分子介质 取向极化(转向极化) 取向极化(转向极化) 无极分子介质 均匀 E 共同效果 边缘出现 电荷分布 E +位移极化 + E′ 或称 束缚电荷 称极化电荷 由于电介质被极化,会产生极化电荷,产生一附加场, 由于电介质被极化,会产生极化电荷,产生一附加场, 使原来的电场减弱,这就是静电计的指针变小的原因。 使原来的电场减弱,这就是静电计的指针变小的原因。 描述极化强弱的物理量---极化强度 (二)、描述极化强弱的物理量--极化强度 电偶极子排列的有序程度反映 了介质被极化的程度 排列愈有序说明极化愈烈 P ?V P = lim ∑p i i ?V 每个分子的 pi 电偶极矩 宏观上无限小 微观上无限大 的体积元 ?V 定义为该点的电极化强度。 定义为该点的电极化强度。表示单位 体积中的分子的电矩的矢量和。 体积中的分子的电矩的矢量和。 SI 单位 c m 2 1. 各向同性线性电介质 P = χ e ε 0 E χe = ε r ?1 χ e 介质的电极化率 εr 介质的相对介电常数 (介质的相对电容率) 介质的相对电容率) 空气, 空气,真空 χe 无量纲的纯数 与 E 无关 εr = 1 2. 各向异性线性电介质 χe 与 E 、与晶轴的方位有关 张量描述 (三).极化强度 P 与极化电荷的关系 极化强度 在已极化的介质内任意作一闭合面S 在已极化的介质内任意作一闭合面 S 将把位于 附近的电介质分子分为两部分 将把位于S 一部分在 S 内 一部分在 S 外 电偶极矩穿过S 的分子对S 电偶极矩穿过S 的分子对S内的 极化电荷有贡献 1.小面元 对面 1.小面元dS对面 内极化电荷的贡献 小面元 对面S内极化电荷的贡献 在dS附近薄层内认为介质均匀极化 附近薄层内认为介质均匀极化 S dS 外场 dq′ = qnl dS cosθ ( P = npe = nq?) = PdS cos θ = P ? d S 分子数 密度 P l dS n θ 如果θ 如果θ π/2 落在面内的 是负电荷 如果θ 如果θ π/2 落在面内的 是正电荷 小面元ds对面内极化电荷 小面元 对面内极化电荷 的贡献 dS l V dS θ P dq ′ = ? Pn ds = ? P ? ds 2.在S所围的体积内的极化电荷 q ′与 P 的关系 在 所围的体积内的极化电荷 此式表明: 此式表明:包围在闭合 q′ = ? P ? dS 曲面的净的极化电荷等 S 于电极化强度对该闭合 曲面的通量的负值。 曲面的通量的负值。 ∫ 3.电介质表面极化电荷面密度 dq′ = P ? dS = P n dS 内 dS θ P dq′ σ′= = Pn = P ? ^ n dS l dS ? σ′ = P?n ^ 介质外法线方向 n 电介质表面电荷面密度σ ′,在数值上 等于该处电介质极化强度的外法向方 向分量。 向分量。 (四).自由电荷与极化电荷共同产生场 例1 介质细棒的一端放置一点电荷 E = E0 + E ′ 共同产生 Q0 ′ q1 ′ q2 P点的场强? 例2 平行板电容器 自由电荷面密度为 充满相对介电常数为 ε r 的均匀各向同 性线性电介质 求:板内的场 解:均匀极化 表面出现束缚电荷 P σ0 σ0 ?σ0 εr ?σ′ σ′ 内部的场由自由电荷和束缚电荷共同产生 ±σ0 ±σ′ 单独 σ0 E = E0 ? E′ = ε0 联立 σ0 E = ε 0ε r σ ′ = Pn = ε 0 (ε r ? 1)E ? σ0 E0 = ε0 σ′ E′ = ε0 σ′ ? ? (1) εo (2) 共同产生 σ 0 E0? σ 0 ?σ ′ σ ′ E′ εr 普遍? 普遍? E = E 0 r ε 均匀各向同性电介质 充满两个等势面之间 例3 E = E 0 r ε 导体球带电Q,置于均匀各向同性 导体球带电Q 介质中如图示 ε r1 ε0 求: 1 场的分布 R2 R1 R0 εr 2 2 紧贴导体球表面处的极化电荷 3 两介质交界处的极化电荷 解:1)场的分布 1)场的分布 r R 0 导体内部 E1 = 0 E2 = Q 4πε0ε r1r P=0 ^ 2 r P = ε0 (εr1 ?1) 2 ^ 3 r P = ε0 (εr 2 ?1) ^ r ε r1 ε0 εr 2 Q 4πε0εr1r Q 4πε0εr 2r 2 R 0 r R 1 ε r1 内 内 2 r ^ R1 r R 2 εr2 E3 = Q 4πε0ε r 2r 2 ^ r r R 2 E4 = Q 4πε 0 r 2 P = 0 2)求紧贴导体球表面处的极化电荷 2)求紧贴导体球表面处的极化电荷 r = R0 Q ε = ? 2 4 πε 0 ε r 1 R 0 2 0 ^ σ′ = P?n = ?P 0 ^ n ε r1 ε0 (ε r 1 ? 1) εr 2 p ε r1 ? 1 Q q′ = σ ′ ? 4πR = ? ε r1 3)两介质交界处极化电荷 3)两介质交界处极化电荷 σ = σ εr1 + σ εr 2 = p 2 ? p3 = ε 0 (ε r1 ? 1) Q 4πε 0 ε r1 R1 2 ? ε 0 (ε r 2 ? 1) Q 4πε 0 ε r 2 R1 2 ε 0 Q ε r 2 ? ε r1 ( ) = 2 ε r1ε r 2 4πε 0 R1 4)最外层(自解) )最外层(自解) 各向同性线性电介质均匀充满两个等势面间 思路: 思路: E0 → E = E0 εr → P = ε0 (εr ?1)E ^ →σ ′ = P ? n → q′ = ∫σ ′dS S 这样,以前我们在真空中所求 这样, 的电场公式都可以直接引用, 的电场公式都可以直接引用, 即可。 只要是把 ε 0 换成 ε 0ε r 即可。 三、 电位移矢量 D 有电介质时的高斯定理 E = E0 + E ′ ∫ ∑ q + ∑ q′ E ? ds = i i ε0 E ? dl = 0 ∫ 单位 (一).电位移矢量 定义: 定义: D = ε0 E + P P = ε0 (εr ? 1) E c m 2 各向同性 线性介质 则: D = ε0εr E 介质方程 (二) D的高斯定理 ∫ S D ? dS = ∑ i q 0i 证: E ? dS = ∫ S 0 ∑q i 有电介质时的高斯定理 的高斯定理; 的通 或D的高斯定理;D的通 量只与自由电荷有关, 量只与自由电荷有关, 与极化电荷无关。 与极化电荷无关。 i ∑ q′ + ∑ q i i i D ε 0 ε 0 E=+ P ε 0 = oi i S oi ∫ ε E ? dS = ?∫ P ? dS + ∑q S S ∫ D? dS = ∑q i 0i 在具有某种对称性的情况下, 在具有某种对称性的情况下,可 以首先由高斯定理出发 解出 D 即 D ? E ? P ? σ ′ ? q′ 一无限大各向同性均匀介质平板, 例 一无限大各向同性均匀介质平板,厚度为 d ,相对 介电常数为 ε r ,内部均匀分布体电荷密度为 ρ 0 的自 由电荷 介质板内、 求:介质板内、外的 D E P 解:面对称 D E P ⊥ 平板 x=0 处 E =0 取坐标系如图 以 d x = 0 处的面为对称面 底面积设 S 0 ρ0 εr S S0 0 过场点作正柱形高斯面 S x x d x≤ 2 2 DS 0 = ρ 0 2 x S 0 D = ρ0 x d ρ0 S 0 εr d x≥ 2 x x x 2 DS 0 = ρ 0 S 0 d D = ρ0 2 d d x≤ 2 D = ρ0 x E= D ε0εr ρ0 x = ε0εr ρ0 x P = (εr ? 1) εr d x≥ 2 D = ρ0 2 d ρ0 d E= = ε0 2ε0 D 均匀场 P = ε0(εr ?1) E = 0 7.5 电容器及电容 电容是表征导体储电能力的物理量 一.孤立导体的电容 孤立导体所带的电荷Q与其 孤立导体所带的电荷 与其 电势U的比值是一个不变值 电势U的比值是一个不变值 Q C ≡ U SI 单位:法拉 F 单位: 导体的电容只与导体的尺寸、 导体的电容只与导体的尺寸、形状 等几何因素和介质有关, 等几何因素和介质有关,与带电量 多少无关 固有的容电本领 求真空中孤立导体球的电容(如图 如图) 例 求真空中孤立导体球的电容 如图 解: 设球带电为 Q R Q 介质 几何 4πε 0 R 导体球电容 Q = 4πε0 R C= U 问题 欲得到 由孤立导体球电容公式知 导体球电势 U = 1 F 的电容 孤立导体球的半径 R ? R= 1 4πε 0 = 9×10 m ≈ 10 RE 9 3 二.导体组的电容 导体组的电容 由静电屏蔽--导体壳内部的场只由腔内的电量 由静电屏蔽 导体壳内部的场只由腔内的电量 Q 相当于孤立) 和几何条件及介质决定 (相当于孤立 相当于孤立 几何形状 腔内导体表面与壳的内表面形状 及相对位置 定义 电容的计算 Q C = ?U 内表面 ?Q AQ B Q C = ?U 设Q E ?UAB 三、典型的电容器 球形 柱形 平行板 R1 R1 R2 R2 d 例1 求球形电容器的电容 解: 设内、 设内、外球壳带电量 分别为+Q和 分别为 和-Q 则两球壳间的电场为: 则两球壳间的电场为: E = 两球壳间的电势差为: 两球壳间的电势差为: RA +Q -Q RB Q 4πε 0 r 2 dr Q 1 1 ?U = ∫ E ? dl = ∫ r 2 = 4πε 0 ( RA ? RB ) 4πε 0 RA RA 4πε 0 RA RB Q 球形电容器的电容为: 球形电容器的电容为: C = = ?U RA ? RB RB Q RB 例2 求柱形电容器单位长度的电容 解: 设单位长度带电量为 柱形 R 1 r R R2 1 2 λ λ R2 ?U = ∫ dr = ln 2πε0 R1 R 2πε 0 r 柱形电容器 的电容为: 的电容为: λ E= 2πε 0 r λ E r R1 R2 2 πε 0 C = = R2 ?U ln R1 λ 例3 平行板电容器的电容 解:令两板带电量分别为+Q和-Q 令两板带电量分别为 和 则两板间的场强为: 则两板间的场强为: UA d UB S Q σ E= = ε 0 Sε 0 两板间的电势差为: 两板间的电势差为: B +Q -Q Q Qd ?U = ∫ E ? dl = ?d = Sε 0 ε0S A 电容为: 电容为: Q ε0S C= = ?U d 四.有介质时的电容器的电容 自由电荷 C = C 0ε r Q0 → E0 E = E0 Q0 → ? U 0 → C0 = ?U 0 有介质时 εr → ?U = ?U 0 εr Q0 →C= ?U Q0 = εr ?U 0 C εr = C0 电容率 = C 0ε r 五、电容的串、并联 电容的串、 1、电容的串联 、 +q -q A +q -q B C 有:Ua - Ub=q/c1, Ub –Uc =q/c2 ,c2串联,A,B,C电的 串联, 电的 电压为U 电压为 a ,Ub ,Uc .各极板 各极板 的电量为q. 的电量为 C1 c1 c2 则:Ua - Uc=q(1/c1+1/c2) n 1 1 一般: 一般: c = ∑ c i i 令:1/c=1/c1+c2 有:Ua –Uc =q/c, c为等效电容 为等效电容 特点:等效电容小于其中的任何一个电容;等效电 特点:等效电容小于其中的任何一个电容; 压之和。 容两端的电压为组内各电容端电 压之和。 2、电容器的并联 、 C1 , c2并联 端电压相等,等效电容器的电量 并联,端电压相等 端电压相等, 为各电容器的电量和。 为各电容器的电量和。 a q1 = c1 (U a ? U b ), q1,c1 q 2 = c 2 (U a ? U b ) b q = q1 + q 2 = (c1 + c 2 )(U a ? U b ) q2,c2 令:c = c1 + c 2 一般:c = ∑ ci i n 特点:并联增大了电容,但并未提高耐压。 特点:并联增大了电容,但并未提高耐压。 7.6 静电场的能量 带电体系处于状态 a 一.带电体系的静电能 状态a时的静电能是什么? 状态a时的静电能是什么? 定义: 定义:把系统从状态 a 无限分裂 到彼此相距无限远的状态中静电场 到彼此相距无限远的状态中静电场 力作的功, 力作的功,叫作系统在状态a时的 静电能。 静电势;简称静电能 静电势;简称静电能。 或: 把这些带电 体从无限远 离的状态聚 合到状态a 合到状态a的 过程中, 过程中,外 力克服静电 力作的功。 力作的功。 相互作用能 二. 点电荷之间的相互作用能 以两个点电荷系统为例 想象 状态a 状态a q1 q 2 初始时相距无限远 q1 r 外力不作功 q2 第一步 先把 第二步 再把 q1 摆在某处 q 2 从无限远移过来 使系统处于状态a 使系统处于状态a 外力克服 q1 的场作功 r ∞ W = ? Aq1 = ?∫ q2 E1 ? dl = q 2 ∫ E 1 ? dl ∞ r = q2 = q2U21 4πε 0 r q1 在处的电势 q1 在 q2 所 也可以先移动 q2 q2在 q1所 在处的电势 状态a 状态a W = q1 作功与路径无关 表达式相同 4πε0r q2 = qU12 1 = q2U21 q1 r q2 为了便于推广 写为 1 1 W = q1U1 + q2U 2 2 2 点电荷系 1 W = ∑qiUi 2 i Ui 除 qi qi 以外的电荷在 处的电势 连续带电体的静电能 1 W = ∫ dqU 2 (Q ) dq U : 所有电荷在dq 处的电势 带电量 Q 半径 R 如 带电导体球 1 w = ∫ Udq 2 (Q) Q 1 Q = W = ∫ dq 8π ε 0 R 2 ( Q ) 4πε 0 R 2 连续 带电导体 Q0 在其周围产生 电场的电场能量 dQ ∞ 假设搬运某个 dQ 时导体上已经带 有电荷量 Q ,导体具有电势 U = Q p ? ∞ Q c dA = ? ∫ F ′ ? d ? = ? ∫ dQE ? d ? = ?dQ(U ∞ ? U ) Q = dQU = dQ C Q Q02 1 1 W = A = ∫ dA = ∫ dQ = = UQ0 = CU 2 C 2C 2 2 0 Q0 1 W = UQ0 2 Q02 = 2C 实际: 实际:外力所做的功就等于带电体系具有的的电势能 即电场的能量。 即电场的能量。 三、场能密度 单位体积内的电能 能量储存于场中 dW we = dV 1. 均匀电场 以平行板电容器的场为 特例可以导出 设:极板上的电荷为Q,其间充满了ε r 的 极板上的电荷为 , 电介质,则两极板间的场强为: 电介质,则两极板间的场强为: εr S σ Q ∴ Q = ε 0 ε r SE E= = ε 0ε r ε 0ε r S ε 0ε r S 平行板电容器的电容: 又:平行板电容器的电容: = C d 2 Q 1 表示(两极间) ∴W = = ε 0 ε r E 2V V(Sd) 表示(两极间)电 场所占有空间体积 2C 2 单位体积内的电场能量 ( 即能量体密度 ) 为: W 1 1 1 2 we = = ε 0 ε r E = DE = E ? D V 2 2 2 2. 非均匀电场 在场中取一小体积元dV, 在场中取一小体积元 ,其能量 密度为w 密度为 e 则 dV 内电场所储存的能量 电场的总能量为: 电场的总能量为: 1 1 2 dwe = we dV = ε 0ε r E dV = DEdV 2 2 积分遍及电 场分布区域 1 1 2 We = ∫ dwe = ∫ ε 0 ε r E dV = ∫ DEdV 2 2 V v 例 导体球的电场能 Q E= 2 4πε0r We = ∞ Q D= 2 4π r Q2 2 r E D e ? all space? ? ? ? of field ? ∫ w dV = ∫ 32π ε r R 0 4π r 2 dr 4 2 We = Q 8πε 0 R 与前面计 算结果同 一球形电容器,内球壳半径为R 例 1 . 一球形电容器,内球壳半径为 1,外球壳半径为 R2,两球壳间充满了相对介电常数为 ε r 的各向同性的 均匀电介质。设两球壳间电势差为U 均匀电介质。设两球壳间电势差为 1. 电容器的电容; 求:1) 电容器的电容; 2) 电容器储存的能量 R2 R1 εr 如图所示。一内半径为a 外半径为b 例2 如图所示。一内半径为 ,外半径为 的金属球壳 带有电量Q, 体,带有电量 ,在球壳空腔内距离球心 r 处有点电荷 q .设无限远处为电势零点,试求: 设无限远处为电势零点, 设无限远处为电势零点 试求: 1) 球壳内、外表面上的电荷; 球壳内、外表面上的电荷; 2) 球心 点处,由球壳内表面上电荷产生的电势 ; 球心O点处 点处, 3) 球心 点处的总电势。 球心O点处的总电势 点处的总电势。 b q r a 无限大”平面,在距离平面a 例3 一电荷面密度为 σ 的“无限大”平面,在距离平面 米远处的一点P的场强大小的一半是由平面上的一个半 米远处的一点 的场强大小的一半是由平面上的一个半 径为R的圆面积范围内的电荷所产生的 的圆面积范围内的电荷所产生的。 径为 的圆面积范围内的电荷所产生的。 试求:该圆半径的大小。 试求:该圆半径的大小。 σ a R x P 如图所示,在电矩为P的电偶极子的电场中 的电偶极子的电场中, 例4 如图所示,在电矩为 的电偶极子的电场中,将一 电量为q 的点电荷从A点沿半径为 的圆弧(圆心与电偶 点沿半径为R的圆弧 电量为 0 的点电荷从 点沿半径为 的圆弧 圆心与电偶 极子中心重合, 移到B点 极子中心重合,R l ) 移到 点,求此过程中电场力 所所做的功。 所所做的功。 R O A B l


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